Polinômios e frações algébricas no ensino médio: fatoração, Briot-Ruffini e questões do ENEM

A fatoração de expressões algébricas aparece na BNCC já no 9.º ano (habilidade EF09MA09) e é a base das funções polinomiais do ensino médio (EM13MAT302); no ENEM, entra pela Matriz de Referência em habilidades como H19 e H21 e no objeto de conhecimento «fatoração».

Isso significa que, no ENEM, ninguém vai pedir «fatore este polinômio» isoladamente: a fatoração aparece dentro de um problema, para simplificar uma expressão, achar uma dimensão ou modelar uma grandeza. Abaixo estão o método em ordem e sete exercícios resolvidos, incluindo dois no estilo do exame.

O que a BNCC e a Matriz do ENEM pedem

A BNCC trata a fatoração como habilidade do 9.º ano e a retoma no ensino médio dentro das funções polinomiais; a Matriz do ENEM cobra a capacidade de usar a álgebra para resolver problemas.

Documento	Código	Texto oficial (trecho)
BNCC – 9.º ano	EF09MA09	«Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau»
BNCC – ensino médio	EM13MAT302	«Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais»
Matriz do ENEM	H19	«Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas»
Matriz do ENEM	H21	«Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos»

Entre os objetos de conhecimento de Matemática da Matriz de Referência estão «Desigualdades, divisibilidade, fatoração, razões e proporções, porcentagem e juros» e «Funções algébricas do 1º e do 2º graus, polinomiais, racionais, exponenciais e logarítmicas».

Como fatorar: a ordem que funciona

Tente sempre na mesma ordem: fator comum em evidência, produtos notáveis, trinômio do 2.º grau e, para grau 3 ou mais, Briot-Ruffini; depois de cada passo, verifique se algum fator ainda pode ser fatorado.

Técnica	Quando usar	Forma
Fator comum	todos os termos têm algo em comum	ab + ac = a(b + c)
Diferença de quadrados	dois quadrados com sinal de menos	a2 − b2 = (a − b)(a + b)
Trinômio quadrado perfeito	dois quadrados e o dobro do produto	a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
Soma e produto	x2 − Sx + P	raízes com soma S e produto P
Briot-Ruffini	grau 3 ou mais	se P(a) = 0, (x − a) é fator

Exercício 1

Fatore 8x²y − 12xy². Resolução: o fator comum é 4xy: 4xy(2x − 3y).

Exercício 2

Fatore 9x² − 16 e x² + 6x + 9. Resolução: (3x − 4)(3x + 4) e (x + 3)².

Exercício 3

Fatore x² − 7x + 10. Resolução: raízes com soma 7 e produto 10: 2 e 5. Logo (x − 2)(x − 5).

Exercício 4

Fatore P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6.

Resolução: P(1) = 1 − 6 + 11 − 6 = 0, então (x − 1) é fator. Briot-Ruffini com os coeficientes 1, −6, 11, −6 e a = 1 dá 1, −5, 6 e resto 0: P(x) = (x − 1)(x² − 5x + 6) = (x − 1)(x − 2)(x − 3).

Frações algébricas: restrições e simplificação

Para simplificar uma fração algébrica, fatore numerador e denominador, registre os valores que anulam o denominador original e só então cancele os fatores comuns.

Exercício 5

Simplifique (x² − 4x + 4)/(x² − 4).

Resolução: (x − 2)²/[(x − 2)(x + 2)], com x ≠ 2 e x ≠ −2. Simplificando: (x − 2)/(x + 2). A restrição x ≠ 2 continua valendo.

Questões no estilo do ENEM

No ENEM, a fatoração costuma ser o passo do meio de um problema: identificar a expressão (H19) e resolvê-la (H21). As duas questões abaixo foram elaboradas por nós no formato do exame.

Exercício 6

Um terreno retangular tem área representada por x² + 5x + 6 metros quadrados, e um dos lados mede x + 2 metros. Qual expressão representa o outro lado?

a) x + 1   b) x + 3   c) x + 4   d) x + 6   e) 2x + 3

Resolução: x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3), então o outro lado é x + 3. Alternativa b.

Exercício 7

Sem calculadora, calcule (101² − 99²)/2.

Resolução: 101² − 99² = (101 − 99)(101 + 99) = 2 · 200 = 400; dividido por 2 dá 200.

Para revisar com repetição espaçada, veja nosso guia de baralhos eficientes no Anki; se a prova está perto, use o plano de estudo intensivo de 3 semanas.

Fontes oficiais: BNCC (MEC/CNE) · INEP, Matriz de Referência do ENEM. Fontes consultadas em 12 de novembro de 2026.

Perguntas frequentes